Question

【題目】某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤(rùn)1200元。設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)為x， A、B兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為y (元)

（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出自變量x的取值范圍；

（3）利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是；

（2）自變量x的取值范圍是x = 30，31，32；

（3）生產(chǎn)A種產(chǎn)品 30件時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是45000元，

【解析】（1）由于用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，那么生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件．由A產(chǎn)品每件獲利700元，B產(chǎn)品每件獲利1200元，根據(jù)總利潤(rùn)=700×A種產(chǎn)品數(shù)量+1200×B種產(chǎn)品數(shù)量即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）關(guān)系式為：A種產(chǎn)品需要甲種原料數(shù)量+B種產(chǎn)品需要甲種原料數(shù)量≤360；A種產(chǎn)品需要乙種原料數(shù)量+B種產(chǎn)品需要乙種原料數(shù)量≤290，把相關(guān)數(shù)值代入得到不等式組，解不等式組即可得到自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)（1）中所求的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的增減性和（2）得到的取值范圍即可求得最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，
由題意得：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-500x+60000；
（2）由題意得，
解得30≤x≤32．
∵x為整數(shù)，
∴整數(shù)x=30，31或32；
（3）∵y=-500x+60000，-500＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∵x=30，31或32，
∴當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值為-500×30+60000=45000．
即生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是45000元．

“點(diǎn)睛”本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用及最大利潤(rùn)問(wèn)題；得到兩種原料的關(guān)系式及總利潤(rùn)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．