Question

【題目】（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數；
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=40°，點D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則∠DCE的度數；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），點D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數（直接寫出答案，用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣（∠A+∠B）÷2=180°﹣45°=135°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=135°﹣90°=45°；
（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣（180°﹣∠ACB）=180°+40°=220°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=180°﹣（∠CAD+∠CBE）÷2=180°﹣220°÷2=70°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°．
故答案為110°；
（3）分四種情況進行討論：
①點D、E在邊AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，
∵∠A+∠B=180°﹣n°，
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣（∠A+∠B）÷2=180°﹣90°+n°=90°+n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°+n°﹣n°=90°﹣n°；
②點D在BA延長線上，點E在AB延長線上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣（180°﹣∠ACB）=180°+n°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=180°﹣（∠CAD+∠CBE）÷2=180°﹣90°﹣n°=90°﹣n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90°﹣n°+n°=90°+n°；
③如圖1，點D在邊AB上，點E在AB延長線上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CBE=∠CAD+∠ACB=∠CAD+n°，
∴∠CAD﹣∠CBE=﹣n°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB﹣∠ACD+∠BCE=n°﹣（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=n°+（∠CAD﹣∠CBE）÷2=n°﹣n°=n°；
④如圖2，點D在BA延長線上，點E在邊AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°，
∴∠CBE﹣∠CAD=﹣n°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACD+∠ACB﹣∠BCE=n°+（180°﹣∠CAD）÷2﹣（180°﹣∠CBE）÷2=n°+（∠CBE﹣∠CAD）÷2=n°﹣n°=n°．


【解析】（1）由AD=AC，BC=BE，根據等邊對等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形內角和定理得出∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，而∠A+∠B=90°，那么求出∠ACD+∠BCE=135°，則∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°；
（2）由AD=AC，BC=BE，根據等邊對等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形內角和定理得出∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，而∠CAD+∠CBE=220°，那么求出∠ACD+∠BCE=70°，則∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=110°；
（3）分四種情況進行討論：①點D、E在邊AB上，同（1）可求出∠DCE=90°﹣n°；②點D在BA延長線上，點E在AB延長線上，同（2）可求出∠DCE=90°+n°；③點D在邊AB上，點E在AB延長線上，求出∠DCE=n°；④點D在BA延長線上，點E在邊AB上，求出∠DCE=n°．