Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，MN為⊙O的切線，點D為切點，連結AD．直線MN與直線AC交于點B，過點A作AE⊥MN，垂足為E．

（1）求證：AD平分∠EAB．

（2）求證：AD2＝AGAB．

（3）若AE＝6，BE＝8，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接OD，證OD∥AE，推出∠EAD＝∠ADO，再證∠OAD＝∠ADO，可得∠EAD＝∠OAD，即可得出結論；

（2）如圖2，連接GD，GC，證△GDA∽△DBA，即可得出結論；

（3）利用勾股定理求出AB的長，證△BDO∽△BEA，設⊙O的半徑為r，利用相似三角形的性質求出半徑r，進一步可求出BC的長．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵MN為⊙O的切線，

∴OD⊥MN，

∵AE⊥MN，

∴OD∥AE，

∴∠EAD＝∠ADO，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∴∠EAD＝∠OAD，

∴AD平分∠EAB；

（2）證明：如圖2，連接GD，GC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠AGC＝90°＝∠AED，

∴GC∥BE，

∴∠GCA＝∠DBA，

∵∠GDA＝∠GCA，

∴∠GDA＝∠DBA，

由（1）知∠GAD＝∠DAB，

∴△GDA∽△DBA，

∴＝，

∴AD2＝AGAB；

（3）解：在Rt△ABE中，AB＝＝＝10，

由（1）知，OD∥AE，

∴△BDO∽△BEA，

∴＝，

設⊙O的半徑為r，則BO＝10﹣r，

∴＝，

∴r＝，

∴BC＝AB﹣AC＝10﹣＝．