Question

【題目】如圖，P是矩形ABCD內的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S1、S2、S3、S4 ， 給出如下結論： ①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1 ， 則S4=2S2；④若S1=S2 ， 則P點在矩形的對角線上．
其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

【答案】②和④
【解析】解：如右圖，過點P分別作PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E， ∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，
∴此時兩三角形的高的和為AB，即可得出S1+S3= 矩形ABCD面積；
同理可得出S2+S4= 矩形ABCD面積；
∴S2+S4=S1+S3（故②正確）；
當點P在矩形的兩條對角線的交點時，S1+S2=S3+S4 ． 但P是矩形ABCD內的任意一點，所以該等式不一定成立．（故①不一定正確）；
③若S3=2S1 ， 只能得出△APD與△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；（故③錯誤）；
④若S1=S2 ， ×PF×AD= PE×AB，
∴△APD與△PBA高度之比為： = ，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴此時矩形AEPF與矩形ABCD相似，
∴ = ，
∴P點在矩形的對角線上．（故④選項正確）
故答案為：②和④．

根據三角形面積求法以及矩形性質得出S1+S3= 矩形ABCD面積，以及 = ， = ，即可得出P點一定在AC上．