Question

求證：有兩條中線相等的三角形是等腰三角形．

Answer 1

已知：BD、CE是△ABC的兩條中線（如圖），BD=CE
求證：AB=AC．
證明1：作中線AF，則三條中線交于重心G．
∵BG=

2

3

BD，CG=

2

3

CE，
∴BG=CG；
∴GF⊥BC，即AF⊥BC．
又∵AF是中線，
∴AB=AC．

證明2：如圖，將EC沿ED平移得DF，連接ED、CF，則四邊形EDFC是平行四邊形，
∴DF=EC，
而EC=BD，
∴BD=DF．
又∵D、E分別AC、AB的中點，
∴DE∥BC，
∴B、C、F三點共線．
∴∠DBF=∠DFB=∠ECB，
又∵BD=CE，BC=CB，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．