Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE=4，⊙O的半徑為5．求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)5.

【解析】

（1）連接BC、OD，由D是弧BC的中點，可知：OD⊥BC；由OB為O的直徑，可得：BC⊥AC，根據DE⊥AC，可證OD⊥DE，從而可證DE是O的切線；
（2）在Rt△ABC中，運用勾股定理可求得AC的長度，運用切割線定理可將AE的長求出，根據△AED∽△ABF，可將BF的長求出．

證明：（1）連接OD，BC，OD與BC相交于點G，

∵D是弧BC的中點，

∴OD垂直平分BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，

∴四邊形DECG為矩形，

∴CG=DE=4，

∴BC=8，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB=10，

∴AC==6，

OG=AC=3，GD=2，在矩形GDEC中 CE=GD=2，

∴AE=8．

∵D為弧BC的中點，

∴∠EAD=∠FAB，

∵BF切⊙O于B，

∴∠FBA=90°．

又∵DE⊥AC于E，

∴∠E=90°，

∴∠FBA=∠E，

∴△AED∽△ABF，

∴，

∴

∴BF=5．