Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿著折線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，也以的速度沿著折線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離為.

（2）連接、交與點(diǎn)，

①在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為______；

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)的值為______.

Answer 1

【答案】（1）為，，，時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離為；（2）①；②2或8.

【解析】

（1）分情況討論確定E，F(xiàn)的位置，根據(jù)勾股定理列式求解即可；

（2）①根據(jù)題意分析出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，然后即可確定答案；②求證△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情況討論即可.

（1）當(dāng)時(shí)，由題可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

當(dāng)時(shí)，由題可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

綜上所述：為，，，時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離為.

（2）①

∵E，F(xiàn)兩點(diǎn)速度相同，

∴AE=AF

又∵正方形ABCD中，AD=BA，∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△BAF（SAS）

∴∠ADE=∠BAF

∵∠BAF+∠DAF=90°

∴∠ADE+∠DAF=90°

∴∠DMA=90°

∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，AD為直徑的圓上，

連接OC交圓O于點(diǎn)，此時(shí)CM長(zhǎng)度最短，

在Rt△DOC中，CO=

∴CM的最小值為.

②2或8

如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DE

由①可知∠DMA=90°

∵∠ADM+∠CDN=90°，∠ADM+∠DAM=90°

∴∠CDN=∠DAM

在△ADM和△CDN中

∴△ADM≌△CDN（AAS）

∴DN=AM

又∵CM=CD=4且CN⊥DE

∴DM=2DN=2AM，即

∵∠DMA=90°

∴∠DAE=∠AMD，∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2

當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C，點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)AM=4，此時(shí)t=8

綜上所述，當(dāng)CM=4cm時(shí)，此時(shí)t的值為2或8.