Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于，兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點P作，垂足為點N．設M點的坐標為，請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時，PN有最大值，最大值為． （3）滿足條件的點Q有兩個，坐標分別為：，．

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入解析式中求解即可；

（2）由(1)求得點C坐標，利用待定系數法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數的性質即可求解；

（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．

解：（1）將，代入，得，解之，得．

所以，拋物線的表達式為．

（2）由，得．

將點、代入，得，解之，得．

所以，直線BC的表達式為：．

由，得，．

∴

∵，∴．

∴．

∴．

．

∵

∴當時，PN有最大值，最大值為．

（3）存在，理由如下：由點，，知．

①當時，過Q作軸于點E，易得，

由，得，（舍）

此時，點；

②當時，則．

在中，由勾股定理，得．

解之，得或（舍）

此時，點；

③當時，

由，得（舍）．

綜上知所述，可知滿足條件的點Q有兩個，坐標分別為：，．