Question

已知：如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB上一點，CM的延長線交⊙O于點E，連結DE．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）若M為OB的中點，AB=16，DE=2

15

時，求MC的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，EB，易證得△AMC∽△EMB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得AM•MB=EM•MC；
（2）由CD是直徑，可得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得EC的長，設CM=x，則EM=14-x，由AM•MB=EM•MC；可得方程12×4=x（14-x），解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：連接AC，EB，…（1分）
則∠CAM=∠BEM，…（1分）
又∵∠AMC=∠EMB，
∴△AMC∽△EMB，…（1分）
∴

AM

EM

=

MC

MB

，
即AM•MB=EM•MC；…（2分）

（2）解：∵DC為⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，…（1分）
∴EC=

DC2-DE2

=

162-(2 15 )2

=14，…（1分）
∵OA=OB=5，M為OB的中點，
∴AM=12，BM=4．
設CM=x，則EM=14-x．
由（1）AM•MB=EM•MC，
得 12×4=x（14-x），…（1分）
解得：x₁=6，x₂=8，
∴CM=6或8． …（2分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．