Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，對角線BD的垂直平分線分別交AD，BC和BD于點E，F，O．EF，DC的延長線交于點G，且OD＝CG，連接BE．

（1）求證：△DOE≌△GCF；

（2）求證：BE平分∠ABD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由AAS即可得出△DOE≌△GCF；

（2）證△DOE≌△BOF（AAS），得出DE＝BF，求出AE＝CF＝OE，即可得出結論．

證明：（1）∵EF是BD垂直平分線，

∴∠EOD＝90°，

在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，

∴∠DEO＝∠GFC，∠DEO＝∠BFO，∠FCG＝90°，

∴∠EOD＝∠FCG，

在△DOE和△GCF中，

，

∴△DOE≌△GCF（AAS）；

（2）由（1）得：△DOE≌GCF，

∴OE＝CF，

∵EF是BD垂直平分線，

∴OB＝OD，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（AAS），

∴DE＝BF，

∵AD＝BC，

∴AE＝CF＝OE，

又∵EA⊥BA，EO⊥BO，

∴BE平分∠ABD．