Question

已知關于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-3=0．
（1）求證：不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）若直線y=（m-1）x+3與函數y=x²+m的圖象C₁的一個交點的橫坐標為2，求關于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-3=0的解．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y=x²-（m-1）x+m-3繞原點旋轉180°，得到圖象C₂，點P為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線，分別與圖象C₁、C₂交于M、N兩點，當線段MN的長度最小時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）證明方程總有兩個不相等的實數根，也就是證明判別式恒大于0
（2）將兩函數聯立，求出m即可，
（3）利用二次函數旋轉180°后，系數之間的關系，得出新函數的解析式，在表示出M，N的坐標，即可解決．

解答：（1）證明：△=[-（m-1）]²-4（m-3）=m²-2m+1-4m+12=m²-6m+13=（m-3）²+4，
∵不論m取何值時，（m-3）²≥0，
∴（m-3）²+4＞0，即△＞0，
∴不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：將x=2代入方程x²-（m-1）x+m-3=0，得m=3，
再將m=3代入，原方程化為x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2．

（3）解：將m=3代入得拋物線：y=x²-2x，將拋物線y=x²-2x繞原點旋轉180°得到的圖象C₂的解析式為：y=-x²-2x．設P（x，0），
則M（x，x²+3），N（x，-x²-2x），MN=(x2+3)-(-x2-2x)=2x2+2x+3=2(x+

1

2

)2+

5

2

，
∴當x=-

1

2

時，MN的長度最小，此時點P的坐標為(-

1

2

，0)．

點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式，以及一次函數與二次函數的綜合應用，還有二次函數的旋轉等，題目綜合性較強．