Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知點A（8，0）和點B（0，6），點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點P的坐標是 ．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【解析】解：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，
由點C是AB的中點，可得P為OB的中點，
此時P點坐標為（0，3）；
當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，
由點C是AB的中點，可得P為OA的中點，
此時P點坐標為（4，0）；
當PC⊥AB時，如圖，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴ = ，
∵點A（8，0）和點B（0，6），
∴AB= =10，
∵點C是AB的中點，
∴AC=5，
∴ = ，
∴AP= ，
∴OP=OA﹣AP=8﹣ = ，
此時P點坐標為（ ，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，3）、（4，0）、（ ，0）．
故答案為：（0，3）、（4，0）、（ ，0）

分類討論：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，易得P點坐標為（0，3）；當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，易得P點坐標為（4，0）；當PC⊥AB時，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽Rt△ABC，計算出AB、AC，則可利用比例式計算出AP，于是可得到OP的長，從而得到P點坐標．