Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，過點A、B作⊙O，交AD、BC于點E、F，連接BE、CE，過點F作FG⊥CE，垂足為G．

（1）當點F是BC的中點時，求證：直線FG與⊙O相切；

（2）若FG∥BE時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）AE=1或4.

【解析】試題分析：（1）連接OF，由點F是BC的中點，得到BF=CF，在矩形ABCD中，∠A=90°，證得BE是 O的直徑，求得BO=OE，根據三角形的中位線的性質得到OF∥CE，證得OF⊥FG，即可得到結論；

（2）根據平行線的性質得到BE⊥CE，由余角的性質得到∠ABE=∠DEC，證得△ABE∽△CDE，根據相似三角形的性質即可得到結論．

試題解析：(1)證明：連接OF，

∵點F是BC的中點，

∴BF=CF，

在矩形ABCD中,∵∠A=90°，

∴BE是O的直徑，

∴BO=OE，

∴OF∥CE，

∵FG⊥CE，

∴OF⊥FG，

∴直線FG與O相切；

(2)∵FG∥BE，FG⊥CE，

∴BE⊥CE，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠ABE=∠DEC，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△CDE，

∴，

∵AB=2，AD=5，

∴CD=AB=2，

∴，

∴AE=1或AE=4.