Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，n)，與y軸的交點(diǎn)在(0，2)，(0，3)之間(包含端點(diǎn))，則下列結(jié)論：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(　　)

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用拋物線的開(kāi)口方向可得a<0，再由拋物線的對(duì)稱軸可得b=-2a，由此可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用2≤c≤3結(jié)合已知條件可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c直線y=n-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)④進(jìn)行判斷.

∵拋物線開(kāi)口向下，

∴a<0，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x==1，

∴b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a<0，故①正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，

∴a-b+c=0，∴c=-3a，

∵2≤c≤3，

∴2≤-3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣，故②正確；

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），

∴x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為n，

∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m ，總有a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，故③正確；

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），

∴拋物線y＝ax2+bx+c直線y=n-1有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確，

故選D.