Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，點F是AB的中點， AD與FE、BE分別交于點G、H，∠CBE=∠BAD．有下列結論：①FD=FE；② AH=2BD； ③AD·BC=AE·AB； ④2CD2=EH2．其中正確的結論有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由直角三角形斜邊上的中線性質得出FD=AB，證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延長FD=FE，①正確；

證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD=2BD，②正確；

證明△ABD～△BCE，得出=，即BCAD=ABBE，③正確；

△ABE是等腰直角三角形，得到AB=AC=AE，從而有EC=(-1)AE，

變形得AE= ( )EH，變形得=，由=，變形即可得到④正確；即可得出結論．

詳解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°．

∵點F是AB的中點，∴FD=AB．

∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE．

∵點F是AB的中點，∴FE=AB，∴FD=FE，①正確；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC．

∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE．在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AHBC=2CD=2BD，②正確；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BCAD=ABBE．故③正確；

∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∴AC=AE，∴EC=(-1)AE，

∴AE=EH=( )EH，=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴2CD2=EH2，故④正確．

故選D．