Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，交軸正半軸于點，與過點的直線相交于另一點，過點作軸，垂足為.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點在線段上（不與點、重合），過作軸，交直線于，交拋物線于點，連接，求面積的最大值；

（3）若是軸正半軸上的一動點，設的長為，是否存在，使以點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當m= 時， ；（3）當時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形.

【解析】

試題分析：（1）把點，代入拋物線得方程組，解方程組求得a、b的值，即可求得拋物線的表達式；（2）求的直線AD的表達式，設 （0<m<3），利用m表示出MP和PC的長，再利用三角形的面積公式構建出面積和m的二次函數模型，利用二次函數的性質即可解決問題；（3）點P在點C的左邊和點P在點C的右邊兩種情況求解.

試題解析：

（1）把點，代入拋物線可得，

解得，

∴ ；

（2）∵,

∴A(0,1).

設直線AD的表達式為y=kx+b，

把A(0,1)，代入得，，

解得，，

∴

設 （0<m<3），

∴MP= ，

∵ ,

∴PC=,

∴ ，

∴二次函數的頂點坐標為（ ）

即當m= 時， ；

（3）存在.

①點P在點C的左邊，

∵OP的長為t，設（0<t<3），則,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

∵△=-39，

∴方程無解；

②點P在點C的右邊，

OP的長為t，設（t>3），則,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

解得（舍去），；

綜上所述，當時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形.