Question

【題目】在學習三角形中位線的性質時，小亮對課本給出的解決辦法進行了認真思考：

課本研究三角形中位線性質的方法

已知：如圖①，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點．求證：DE∥BC，DE=BC．

證明：延長DE至點F，使EF=DE，連接FC．…則△ADE≌△CFE．∴…

請你利用小亮的發現解決下列問題：

（1）如圖③，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE=EF，求證：AC=BF．

請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程：

（2）解決問題：如圖⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線．過點D，E作DF∥EG，分別交BC于點F，G，過點A作MN∥BC，分別與FD，GE的延長線交于點M，N，則四邊形MFGN周長的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8+10 ．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判斷出AC=MC，即可得出結論
（2）先判斷出四邊形DEGF，DENM，FGNM是平行四邊形，即：MN=FG=DE=4再判斷出平行四邊形FGNM是矩形時，四邊形MFGN的周長最小，最后用銳角三角函數求出MF=GN=5，求和即可得出結論

試題解析：（1）如圖1，延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，

在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA．

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC．

∴AC=MC．

∴BF=AC．

（2）如圖2，

在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，

∵DE是△ABC的中位線．

∴DE= BC=4，DE∥BC

∵DF∥EG，MN∥BC，

∴四邊形DEGF，DENM，FGNM是平行四邊形，

∴MN=FG=DE=4，

∴要四邊形MFGN周長的最小只有MF=NG最小，

即：MF⊥BC，

∴平行四邊形FGNM是矩形，

過點A作AP⊥BC于P，

∴AP=MF=NG，

在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，

∴AP=5 ，

∴MF=NG=5，

即四邊形MFGN周長的最小值是8+10．

故答案為：8+10．