Question

【題目】如圖①，若二次函數的圖象與ｘ軸交于點A（－2,0）,B（3,0）兩點，點A關于正比例函數的圖象的對稱點為C。

（1）求b、c的值；

（2）證明：點C 在所求的二次函數的圖象上；

（3）如圖②，過點B作DB⊥ｘ軸交正比例函數的圖象于點D，連結AC，交正比例函數的圖象于點E，連結AD、CD。如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向點D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點C運動，當其中一個到達終點時，另一個隨之停止運動，連結PQ、QE、PE，設運動時間為t秒，是否存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）。

（2）利用軸對稱和銳角三角函數求出點C的坐標，代入驗證即可。

（3）存在時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC。

【解析】

分析：（1）將A（－2,0）,B（3,0）兩點坐標 代入，即可求出b、c的值。

（2）利用軸對稱和銳角三角函數求出點C的坐標，代入驗證即可。

（3）通過證明△PAE∽△ECQ，求出時間t。

解：（1）∵二次函數的圖象與ｘ軸交于點A（－2,0）,B（3,0）兩點，

∴，解得。

∴。

（2）證明：由（1）得二次函數解析式為。

在正比例函數的圖象上取一點F，作FH⊥x軸于點H，則

。∴。

連接AC交 的圖象于點E，作CK 垂直x軸于點K，

∵點A關于的圖象的對稱點為C，

∴OE垂直平分AC。

∵，OA=2，

∴。

在Rt△ACK中，∵，

∴。∴。

∴點C 的坐標為。

將C 代入，左邊=右邊，

∴點C在所求的二次函數的圖象上。

（3）∵DB⊥x軸交的圖象于點D，B（3,0），

∴把x=3代入得，即BD=。

在Rt△ACK中，，

∵OE垂直平分AC，

∴，。

假設存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，

則。

∵， ∴。

又∵，∴。

又∵，∴△PAE∽△ECQ。∴，即。

整理，得，解得（不合題意，舍去）。

∴存在時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC。