Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結論：①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；

③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正確的結論是（　　）

A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】如圖，

∵P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，

∴PA=PC,∠C=90°，

∵過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD，

∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

∴PC=EF，

∴PA=EF，故②正確，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，

∵∠PFC=∠C=90°，

∴PF∥BC，

∴∠DPF=45°，

∵∠DFP=90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正確，

在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB，

∴∠BAP=∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，

∴∠PFE=∠BAP.故④正確，

∵點P是正方形對角線BD上任意一點，

∴AD不一定等于PD，

只有∠BAP=22.5°時，AD=PD，故③錯誤，

故選C