Question

對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離不大于這個圓的半徑，那么稱圖形A被這個圓所覆蓋．例如，圖中的三角形被一個圓所覆蓋．回答問題：
（1）邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是多少？
（2）邊長為1cm的正三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是多少？
（3）半徑為1cm的圓被邊長為a的正方形所覆蓋，a的最小值是多少？
（4）半徑為1cm的圓被邊長為a的正三角形所覆蓋，a的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，求圓的半徑，實質上時求邊長為1的正方形外接圓的半徑，根據題意畫出圖形，連接正方形外接圓的圓心與兩端點的連線，求出正方形一條邊所對圓心角的度數，利用勾股定理即可求出r的值；
（2）邊長為1cm的正三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，求r的最小值即求此正三角形外接圓的半徑，根據題意畫出圖形，作出輔助線，垂徑定理及銳角三角函數的定義即可解答；
（3）半徑為1cm的圓被邊長為a的正方形所覆蓋，求a的最小值，實際上是求圓的外接正方形的邊長，根據題意畫出圖形，根據勾股定理及正方形的性質即可求解；
（4）半徑為1cm的圓被邊長為a的正三角形所覆蓋，a的最小值，實際上是求邊長為1的圓的外切正三角形的面積，根據題意畫出圖形，利用銳角三角函數的定義即可求解．

解答：解：（1）如圖（1）所示，
連接OB、OC，則∠BOC=

360°

4

=90°，
∵OB=OC=r，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB²+OC²=BC²，即r²+r²=1²，
∴r=

2

2

；

（2）如圖（2）所示，連接OA、OB，過O作OD⊥AB，則AD=

1

2

AB=

1

2

，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD=60°，∠OAC=30°，
∴OA=r=

AD

cos∠OAD

=

1 2

3 2

=

3

3

；

（3）如圖（3）所示，連接OA、OE，則OE=r，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠AOE=45°，
∴OE=AE=1，
∴AB=2；

（4）如圖（4），連接OB，OD，
∵O是切點，
∴OD⊥BC，OD=1，BD=

a

2

，
∵O是△ABC的內心，
∴∠OBD=30°，
∴OD=BD•tan∠OBD=

a

2

•

3

3

=1，
∴a=2

3

．

故答案為：

2

2

，

3

3

，2，2

3

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，解答此類題目的關鍵是畫出圖形，利用數形結合求解．