Question

如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．
（1）求證：CE=CF；
（2）若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）2（）

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。
∴CE=CF。
（2）解：連接AC，交EF于G點，
∵△AEF是等邊三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF。
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=。
設BE=x，則AB=BC=x+，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+）²+x²=4，解得x=（負值舍去）。
∴AB=。
∴正方形ABCD的周長為4AB=2（）。
（1）根據正方形可知AB=AD，由等邊三角形可知AE=AF，于是可以證明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF。
（2）連接AC，交EF與G點，由△AEF是等邊三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，設BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，從而求出正方形的周長。