Question

（2008•綿陽模擬）如圖，在?ABDO中，已知A、D兩點的坐標分別為A（，），D（2，0）．將?ABDO向左平移個單位，得到四邊形A′B′D′O′．拋物線C經過點A′、B′、D′．
（1）在圖中作出四邊形A′B′D′O′，并寫出它的四個頂點坐標；
（2）在拋物線C上是否存在點P，使△ABP的面積恰好為四邊形A′B′D′O′的面積的一半？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）平行四邊形整體向左平移，因此四點的橫坐標都加減去即可得出平移后平行四邊形四頂點的坐標．
（2）先根據A′、B′、D′的坐標求出拋物線的解析式．然后求出平行四邊形的面積，即可得出三角形ABP的面積，AB的長已知，那么可據此求出P點到AB的距離，也就能求出P點的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）作出平移后的四邊形A′B′D′O′，
頂點坐標分別為A′（0，）、B′（2，）、D′（，0）、O′（-，0）．


（2）由題意可設拋物線C的解析式為y=ax²+bx+，
則，
解得a=，b=-2．
∴拋物線C的解析式為y=x²-2x+．
∵四邊形A′B′D′O′是平行四邊形，
∴它的面積為O′D′×OA′=2×=6．
假設存在點P，則△ABP的面積為3．
設△ABP的高為h，則×AB×h=×2×h=3，
得h=．
即點P到AB的距離為，
∴P點的縱坐標為0或2．
∴當P的縱坐標為0時，即有0=x²-2x+，
解得x₁=x₂=．
當P的縱坐標為2時，即有2=x²-2x+，
解得x=-，x=+．
因此存在滿足條件的點P，坐標為（，0），（，2），（，2）．
點評：本題著重考查了平行四邊形的性質、待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的求法等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．