Question

【題目】等邊三角形ABC內接于⊙O，連接OA，OB，OC，延長AO分別交BC于點P，弧BC于點D，連接BD，CD．

（1）判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由；

（2）若等邊三角形ABC的邊長6cm，求⊙O的半徑；

（3）在劣弧BD上有一點Q，請求出弓形BQD的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BDCO是菱形理由見解析；（2）6；（3）6π-9 ．

【解析】

（1）可先由四邊形各角的大小求出各邊之間的關系，然后即可判斷四邊形BDCO為何種特殊四邊形；

（2）先由菱形性質求出BP的長，再由等邊三角形性質及求出∠POB的角度，然后即可由三角形邊角關系求出OB的長，即⊙O的半徑；

（3）弓形BQD的面積可由求扇形OBD與三角形OBD之差間接求得．

解：（1）四邊形BDCO是菱形，理由如下：

∵AB＝BC＝AC，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，

∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，

∴∠COD＝180°﹣∠AOC＝60°；

又∵OB＝OD，

∴△OBD為正三角形，

∴OB＝OD＝BD

同理可得OC＝CD，

∴OB＝OC＝BO＝CD即四邊形BDCO是菱形；

（2）由菱形性質可知，BP=BC=×6 =3；

∵△ABC為等邊三角形，∠PBO＝30°，OP＝3，BO＝6，

∴⊙O的半徑OB為6．

（3）S弓形BQD=S扇形-S△BOD=××62 ＝6π-9 ．