Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線分別交邊AB、CD、AD、BC于點E、F、G、H

（感知）如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE=S△AOG，又因為S△AOB=S四邊形ABCD，所以S四邊形AEOG=S正方形ABCD（不要求證明）；

（拓展）如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且S四邊形AEOG=S矩形ABCD，若AB=a，AD=b，BE=m，求AG的長（用含a、b、m的代數式表示）；

（探究）如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，且S四邊形AEOG=SABCD，若AB=3，AD=5，BE=1，則AG=______．

Answer 1

【答案】【拓展】AG=；【探究】

【解析】

拓展:如圖②，作高線OM和ON，根據S△AOB=S矩形ABCD，可得S△AOB=S四邊形AEOG，所以△BOE和△AOG的面積相等，根據面積公式列式可得AG的長；

探究:如圖③，同理：過O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根據平行四邊形面積可得OM和ON的比，同理可得S△BOE=S△AOG，根據面積公式可計算AG的長．

拓展：如圖②，過O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，

∵S△AOB=S矩形ABCD，

S四邊形AEOG=，

∴S△AOB=S四邊形AEOG，

∵S△BOE===mb，

S△AOG=AGON=AG=AGa，

∴mb=AGa，

∴AG=；

探究：

如圖③，過O作QM⊥AB，PN⊥AD，

則MQ=2OM，PN=2ON，

∵SABCD=ABMQ=ADPN，

∴3×2OM=5×2ON，

∴=，

∵S△AOB=SABCD，

S四邊形AEOG=SABCD，

∴S△AOB=S四邊形AEOG，

∵S△BOE==×1×OM，

S△AOG=AGON，

∴×1×OM=AGON，

OM=AGON，

=AG=，

∴AG=；

故答案為：．