Question

【題目】如圖，∠MON＝45°，線段AB在射線ON上運動，AB＝2．

（1）如圖1，已知OA＝AB，AC＝BC，∠ACB＝90°，點C在∠MON內．

①求證：以點C為圓心，CA的半徑的圓與射線OM相切（切點記為點P）；

②∠APB的大小為　 　．

（2）如圖2，若射線OM上存在點Q，使得∠AQB＝30度，試利用圖2，求A，O兩點之間距離t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① 見解析，②45°；（2）0≤t≤2-1

【解析】

（1）①如圖1中，作CP⊥OM于P，AH⊥OM于H．證明CP=AC即可．

②利用圓周角定理解決問題即可．

（2）如圖3中，以AB為邊向上作等邊△ABC，以C為圓心CA為半徑作⊙C，當⊙C與射線OM有交點時，射線OM上存在點Q，使得∠AQB∠ACB=30°．當⊙C與射線OM相切于點Q時，作CP∥OM交OB于P，作PK⊥OM于K，則四邊形CQKP是矩形，解直角三角形求出OA的值即可判斷．

（1）①如圖1中，作CP⊥OM于P，AH⊥OM于H．

∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°．

∵∠O=45°，∴∠CAB=∠O，∴AC∥OP．

∵PC∥AH，∴四邊形ACPH是平行四邊形．

∵∠CPH=90°，∴四邊形ACPH是矩形．

∵OA=AB，∠AHO=∠BCA=90°，∠O=∠CAB=45°，

∴△AOH≌△BAC（AAS），∴AC=BC=OH=AH，

∴四邊形ACPH是正方形，∴PC=AC，∴OM是⊙C的切線．

②如圖2中，連接PA．

由①可知四邊形ACPH是正方形，∴∠ACP=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠PCB=180°，∴P，C，B共線，

∴∠APB∠ACB=45°．

（2）如圖3中，以AB為邊向上作等邊△ABC，

以C為圓心CA為半徑作⊙C，當⊙C與射線OM有交點時，

射線OM上存在點Q，使得∠AQB∠ACB=30°．

當⊙C與射線OM相切于點Q時，作CP∥OM交OB于P，

作PK⊥OM于K，則四邊形CQKP是矩形，

∴PK=CQ=CA=AB=2．

∵∠O=45°，∠OKP=90°，∴OK=PK=2，

∴OPOK=2．

過C作CH⊥AB于H．

∵△ABC是等邊三角形，CH⊥AB，

∴AH=HB=1，CH，

∴PC∥OM，∴∠CPH=∠O=45°，∴PH=CH，

∴OH=OP+PH=2，∴OA=OH－AH=21，

觀察圖形可知，滿足條件的t的取值范圍為：0≤t≤21．