Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點 A(0,4)在 y 軸上,點 B(b,0)是 x 軸上一動點,且 4＜ b ＜4,△ABC 是以 AB 為直角邊,B 為直角頂點的等腰直角三角形.

(1)求點 C 的坐標(用含 b 的式子表示)；

(2)以 x 軸為對稱軸,作點 C 的對稱點 C 連接 BC、AC，請把圖形補充完整,并求出△ABC的面積(用含 b 的式子表示)；

(3)點 B 在運動過程中, OAC 的度數是否發生變化,若變化請說明理由；若不變化,請直接 寫出 OAC 的度數.

Answer 1

【答案】（1）點；（2）；（3）不變化，.

【解析】

（1）過點C作CE⊥x軸，垂足為E，由題意可證△ABO≌△BCE，可得BE=OA=4，BO=EC=-b，則OE=4+b，即求點C的坐標；

（2）根據題意補全圖形，根據S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×（-b）×4+×（4-b）（4+b）-×4×（-b），可求△ABC′的面積；

（3）過點A作AF⊥EC'，垂足為F，可證四邊形AOEF是矩形，可得AO=EF=4，OE=AF=4+b，可證AF=C'F=4+b，可得∠FAC'=45°，且∠OAF=90°，可求∠OAC'=45°．

（1）如圖，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠ABE=∠BCE，且AB=BC，∠AOB=∠BEC=90°，

∴△ABO≌△BCE（AAS）

∴BO=CE，AO=BE，

∵點A（0，4），點B（b，0），且-4＜b＜0，

∴BE=OA=4，BO=EC=-b，

∴OE=4+b

∴點C坐標（4+b，b）

（2）根據題意畫出圖形，如下圖，

∵點C與點C'關于x軸對稱，

∴點C'（4+b，-b），C'C⊥x軸，

∵S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×（-b）×4+×（4-b）（4+b）-×4×（-b），

∴S△ABC'=8-b2，

（3）點B在運動過程中，∠OAC′的度數不發生變化，

理由如下：如圖，過點A作AF⊥EC'，垂足為F，

∵AF⊥EC'，EC'⊥BE，AO⊥OE，

∴四邊形AOEF是矩形，

∴AO=EF=4，OE=AF=4+b，

∵C'F=EF-EC'=4-（-b）=4+b，

∴AF=C'F，且∠AFE=90°，

∴∠FAC'=45°，且∠OAF=90°，

∴∠OAC'=45°