Question

【題目】下面是小宇設計的“作已知直角三角形的中位線”的尺規作圖過程．

已知：在△ABC中，∠C＝90°．

求作：△ABC的中位線DE，使點D在AB上，點E在AC上．

作法：如圖，

①分別以A，C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，與AB交于點D，與AC交于點E．

所以線段DE就是所求作的中位線．

根據小宇設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：連接PA，PC，QA，QC，DC，

∵PA＝PC，QA＝　　，

∴PQ是AC的垂直平分線（　　）（填推理的依據）．

∴E為AC中點，AD＝DC．

∴∠DAC＝∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．

∴∠ABC＝∠DCB（　　）（填推理的依據）．

∴DB＝DC．

∴AD＝BD＝DC．

∴D為AB中點．

∴DE是△ABC的中位線．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）QC，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，等角的余角相等

【解析】

（1）作線段AC的垂直平分線PQ，交AB于D，交AC于E．

（2）根據寫好的證明過程，由垂直平分線定理，直角三角形的性質把缺失的條件或者依據補充完整即可.

解：（1）如圖線段DE即為所求．

（2）連接PA，PC，QA，QC，DC，

∵PA＝PC，QA＝QC，

∴PQ是AC的垂直平分線（到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上），

∴E為AC中點，AD＝DC．

∴∠DAC＝∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．

∴∠ABC＝∠DCB（等角的余角相等），

∴DB＝DC．

∴AD＝BD＝DC．

∴D為AB中點．

∴DE是△ABC的中位線．

故答案為：QC，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，等角的余角相等．