Question

如圖，已知O為原點，點A的坐標為（5.5，4），⊙A的半徑為2．過A作直線l平行于x軸，交y軸于點B，點P在直線l上運動．
（1）設點P的橫坐標為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關系，并說明理由；
（2）設點P的橫坐標為a，請你求出當直線OP與⊙A相切時a的值．
（參考數據：

10

≈3.162，

676

=26）

Answer 1

分析：（1）連接OP，過點A作AC⊥OP，垂足為點C，可求得AP、OB，再根據勾股定理得出OP，可證明△APC∽△OPB，根據相似三角形的對應邊的比相等可求出AC，即可判斷出直線OP與⊙A的位置關系；
（2）分兩種情況進行討論，
①當點P在線段AB上（即當點P在點A的左側時）；則BP=a，AP=5.5-a，
②當點P在點A的右側時；則BP=a，AP=a-5.5，
可證出△APH∽△OPB，則

AP

OP

=

AH

OB

，代入即可求得a的值．

解答：解：（1）連接OP，過點A作AC⊥OP，垂足為點C，
則AP=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，OP=

122+42

=4

10

，∵∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB
∴△APC∽△OPB，∴

AC

OB

=

AP

OP

，∴

AC

4

=

6.5

4 10

，∴AC=

13 10

20

≈2.06＞2
∴直線OP與⊙A相離．

（2）設直線OP與⊙A相切于點H
分兩種情況
①當點P在線段AB上（即當點P在點A的左側時），如圖（1）所示
BP=a，AP=5.5-a，
∵∠APH=∠OPB，∠AHP=∠OBP=90°，∴△APH∽△OPB，∴

AP

OP

=

AH

OB

，∴

5.5-a

OP

=

2

4

得OP=11-2a
在Rt△OBP中，（11-2a）²=a²+4²
解得a₁=3，a₂=

35

3

（舍去）
②當點P在點A的右側時，如圖（2）所示
BP=a，AP=a-5.5，同理得△APH∽△OPB，∴

AP

OP

=

AH

OB

，∴

a-5.5

OP

=

2

4

得OP=2a-11
在Rt△OBP中，（2a-11）²=a²+4²
解得a₁=3（舍去），a₂=

35

3

∴當直線OP與⊙A相切時，a的值為3或

35

3

點評：本題是一道綜合題，考查了直線和圓的位置關系、相似三角形的判定和性質以及切線的判定和性質，是中考壓軸題，難度偏大．