Question

【題目】如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D.下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有____________（多選、錯選不得分）.

①∠A+∠B=90°；②；③；④

Answer 1

【答案】①②④

【解析】根據三角形內角和是180°、勾股定理、余弦函數、相似三角形的性質等來逐一判斷各結論是否符合題意即可．

解：①∵三角形內角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，

∴△ABC是直角三角形．故選項①正確．

②AB，AC，BC分別為△ABC三個邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確．

③題目所給的比例線段不是△ACB和△CDB的對應邊，且夾角不相等，無法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯誤；

④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，

又∵CD2=AD?BD，（即=）

∴△ACD∽△CBD

∴∠ACD=∠B

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°

△ABC是直角三角形

∴故選項④正確；

故正確的結論為①②④．

本題考查直角三角形的性質和勾股定理等知識的應用，只要利用直角三角形的這些特性加以判斷即可．