Question

【題目】已知，如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=，對角線AC，BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．

（1）求證：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）根據∠BAC＝∠AOF＝90°推出AB∥EF，根據平行四邊形性質得出AF∥BE，即可推出四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）證△DFO≌△BEO，推出OF＝OE，得出四邊形BEDF是平行四邊形，根據勾股定理求出AC，求出OA＝AB＝1，求出∠AOB＝45°，根據∠AOF＝45°，推出EF⊥BD，根據菱形的判定推出即可．

（1）證明：∵∠AOF＝90°，∠BAO＝90°，

∴AB∥EF，

又∵平行四邊形ABCD，

∴AF∥EB，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）當旋轉角∠AOF＝45°時，四邊形BEDF是菱形，理由如下：

∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF＝OE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵AB＝1，BC＝，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC＝2，

∴AO＝1＝AB，

∴∠AOB＝45°，

又∵∠AOF＝45°，

∴∠BOF＝90°，

∴BD⊥EF，

∴四邊形BEDF是菱形，

即在旋轉過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時AC繞點O順時針旋轉的度數是45°．