Question

【題目】如圖，拋物線經過點A(－3,0)，B(1,0)，C(0,－3)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；

（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）最大值，P的坐標為（-，-）；（3）（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；

（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x，x2+2x-3），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論；

（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．

試題解析：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經過A（-3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），

將C點坐標（0，-3）代入，得：

a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，

則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；

（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．

設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

，解得，

∴直線AC的解析式為：y=-x-3．

設P點坐標為（x，x2+2x-3），則點N的坐標為（x，-x-3），

∴PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S=PNOA

=×3（-x2-3x）

=-（x+）2+，

∴當x=-時，S有最大值，此時點P的坐標為（-，-）；

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，

∴頂點D的坐標為（-1，-4），

∵A（-3，0），

∴AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20．

設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：

①當A為直角頂點時，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t=，

所以點M的坐標為（0，）；

②當D為直角頂點時，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，

解得t=-，

所以點M的坐標為（0，-）；

③當M為直角頂點時，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，

所以點M的坐標為（0，-1）或（0，-3）；

綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．