Question

如圖，二次函數的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B．C在x軸上，A．D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內。

（1）求二次函數的解析式；
（2）設點D的坐標為（x，y）,試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結論。

Answer 1

(1) y=-x²+2；（2）p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜2；（3）不存在，證明見解析.

解析試題分析：（1）由頂點坐標（0，2）可直接代入y=-mx²+4m，求得m=，即可求得拋物線的解析式；
（2）由圖及四邊形ABCD為矩形可知AD∥x軸，長為2x的據對值，AB的長為A點的總坐標，由x與y的關系，可求得p關于自變量x的解析式，因為矩形ABCD在拋物線里面，所以x小于0，大于拋物線與x負半軸的交點；
（3）由（2）得到的p關于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解則存在，無解則不存在，顯然不存在這樣的p．
試題解析：（1）∵二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），
∴4m=2，
即m=，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2；
（2）∵D點在x軸的正方向上坐標為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，
∴AD∥x軸，
又由拋物線關于y軸對稱，
所以D、C點關于y軸分別與A、B對稱．
所以AD的長為2x，AB長為y，
所以周長p=2y+4x=2（-x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵D在拋物線上，且ABCD組成矩形，
∴x＜2，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜2．
（3）不存在，
證明：假設存在這樣的p，即：9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x無解，所以不存在這樣的p．
考點: 二次函數綜合題.