Question

為鼓勵大學畢業生自主創業,某市政府出臺了相關政策:由政府協調,本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售,成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件元,出廠價為每件元,每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系近似滿足一次函數: ．
（1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為元,那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元?
（2）設李明獲得的利潤為（元）,當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?
（3）物價部門規定,這種節能燈的銷售單價不得高于元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于元,那么政府為他承擔的總差價最少為多少元?

Answer 1

（1）政府這個月為他承擔的總差價為600元;
（2）當銷售單價定為30元時,每月可獲得最大利潤4000元;
（3）銷售單價定為25元時,政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．

解析試題分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數,然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價;
（2）由利潤=銷售價﹣成本價,得w=（x﹣10）（﹣10x+500）,把函數轉化成頂點坐標式,根據二次函數的性質求出最大利潤;
（3）令﹣10x²+600x﹣5000=3000,求出x的值,結合圖象求出利潤的范圍,然后設設政府每個月為他承擔的總差價為p元,根據一次函數的性質求出總差價的最小值．
試題解析：（1）當x=20時,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×（12﹣10）=300×2=600元,
即政府這個月為他承擔的總差價為600元;
（2）依題意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x²+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）²+4000
∵a=﹣10＜0,∴當x=30時,w有最大值4000元．
即當銷售單價定為30元時,每月可獲得最大利潤4000元;
（3）由題意得：﹣10x²+600x﹣5000=3000,
解得：x₁=20,x₂=40．
∵a=﹣10＜0,拋物線開口向下,

∴結合圖象可知：當20≤x≤40時,w≥3000．
又∵x≤25,
∴當20≤x≤25時,w≥3000．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元,
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p隨x的增大而減小,
∴當x=25時,p有最小值500元．
即銷售單價定為25元時,政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．
考點：二次函數的應用．