Question

【題目】如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O1 ， 半圓O2 ， …，半圓On與直線l相切．設半圓O1 ， 半圓O2 ， …，半圓On的半徑分別是r1 ， r2 ， …，rn ， 則當直線l與x軸所成銳角為30°，且r1＝1時，r2018＝.

Answer 1

【答案】32017
【解析】分別作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如圖，

∵半圓O1 ， 半圓O2 ， …，半圓On與直線L相切，
∴O1A=r1 ， O2B=r2 ， O3C=r3 ，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2， 在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2 ，
∴r2=3， 在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3 ，
∴r3=9=32 ， 同理可得r4=27=33 ， 所以r2018=32017 ．
故答案為32017 ．
連接圓心和切點出現垂直于切線的半徑，利用30度角的性質，觀察規律，可看出rn=3n-1，進而求出答案.