Question

【題目】（1）嘗試探究

如圖1，等腰Rt△ABC的兩個頂點B，C在直線MN上，點D是直線MN上一個動點（點D在點C的右邊），BC=3，BD=m，在△ABC同側作等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，EF⊥ MN于點F，連結CE.

①求DF的長；

②在判斷AC⊥CE是否成立時，小明同學發現可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：先證CF=EF，求出∠ECF=45°，從而證得結論成立.

思路二：先求DF，EF的長，再求CF的長，然后證AC2+CE2=AE2，從而證得結論成立.

請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程.(如用兩種方法作答，則以第一種方法評分)

（2）拓展探究

將(1)中的兩個等腰直角三角形都改為有一個角為的直角三角形，如圖2， ∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，BC=3，BD=m，當4≤m≤6時，求CE長的范圍.

Answer 1

【答案】（1）①3；②詳見解析；（2）.

【解析】

（1）①證明△ABD≌ △DFE即可得出結論；

②思路一：先證CF=EF，求出∠ECF=45°，從而證得結論成立.

思路二：先求DF，EF的長，再求CF的長，然后證AC2+CE2=AE2，從而證得結論成立.

（2）易證△ ABD ∽△ DFE，得，可求出CF= m，CE=，得∠ACE=90°，所以無論m取何大于3的數，AC⊥CE總成立，即點E在一條直線上運動，因此可求出當4≤m≤6時，CE長的范圍.

（1）①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∴∠ADB+∠EDF=90°，

∵EF⊥ MN，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∴∠ADB=∠DEF，

在△ABD和△DFE中，

∴△ABD≌ △DFE（AAS），

∴DF=AB=BC=3；

②證明：思路一：

由①得△ABD≌ △DFE（AAS），

∴DF=AB=BC=3，EF=BD=m，

∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m，

∴CF=EF，

∵EF⊥ MN，

∴∠ECF=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACE=90°，

即AC⊥CE；

思路二：由（1）知，DF=AB=3，EF=BD=3+m

∴DE=AD=

∴AE=

又由（1）可知，∠EFD=∠ABC=90°,CF=EF=3+m，

∴AC=3,CE=(3+m)

∵AC2+CE2== AE2，

∴△ACE是直角三角形，即AC⊥CE；

（2）如圖，作EF⊥ MN，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADB+∠EDF=90°，

∴∠ADB=∠DEF，

∴△ ABD ∽△ DFE，

∴，

∴EF=，DF=3，

∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m，

∴在Rt△CEF中，tan∠ECF=,

∴∠ECF=30°，CE=2EF=，

∴∠ACE=90°，

即AC⊥CE，

∴無論m取何大于3的數，AC⊥CE總成立，即點E在一條直線上運動，

∴4≤m≤6時，CE長的范圍是.