Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB平分弦CD，AB與CD相交于點E，連接AC、BC，點F是BA延長線上的一點，且∠FCA=∠B．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若AC=4，tan∠ACD，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出∠OCF=90°，進而得出答案；

（2）利用垂徑定理推論得出，進而得出BC的長，再利用勾股定理求出即可．

試題解析：（1）連接CO，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵OB=CO，

∴∠B=∠OCB，

∵∠FCA=∠B，

∴∠BCO=∠ACF，

∴∠OCA+∠ACF=90°，

即∠OCF=90°，

∴CF是⊙O的切線；

（2）∵直徑AB平分弦CD，

∴AB⊥DC，

∴，

∵AC=4，tan∠ACD=，

∴tan∠B=tan∠ACD=，

∴

∴BC=8，

∴在Rt△ABC中，

AB=

則⊙O的半徑為：．