Question

【題目】如圖所示，AB為半圓O的直徑，C為圓上一點，AD平分∠BAC交半圓于點D，過點D作DE⊥AC，DE交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，DE= ，求線段AC的長

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAD，

∴AE∥OD，

∴∠AED+∠EDO=180°，

∵DE⊥AC，

∴∠EDO=90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接BC交OD于F，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠AED=∠EDO=90°，

∴四邊形DECF為矩形，

∴DE=CF= ，∠DFC=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC=2CF=2 ，

∵AB=4，

∴AC= =2．

【解析】（1）證切線需要證明該線垂直于過切點的半徑，所以我們首先要連接OD，并進一步利用平行線性質，互補關系，證明∠EDO=90°
（2）利用垂徑定理結合矩形性質可得DE=CF= ，BC=2CF=2 ，再利用勾股定理易得AC= =2．