Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）求證：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，
①當∠EAC=90°時，求PB的長；
②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE．

（2）

①解：（i）、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴ = ，

∴ = ，

∴PB=

(ii)、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE= = ，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PB= ，

綜上，PB= 或 ．

②如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小．

理由：此時∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD﹣PD= ﹣1．

如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC= = = ，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD+PD= +1．

綜上所述，PB長的最小值是 ﹣1，最大值是 +1．

【解析】（1）欲證明BD=CE，只要證明△ABD≌△ACE即可．（2）①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解決問題．b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．解法類似．②a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小．b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．分別求出PB即可．