Question

【題目】已知點A是⊙O上一點，P是⊙O外一點，AP的垂直平分線與⊙O相切于點C，交AP于B點．

⑴ 如圖1，若PA是⊙O的切線，求的值；

⑵ 如圖2，若PA與⊙O相交，OA＝4，OP＝10，求AP的長．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

（1）連接OA、OC，先證明四邊形OABC是正方形，從而得出OA＝AB＝BP，設OA＝x,則AP＝2x,在Rt△OAP中OP＝，再求其比值;

（2）作OE⊥AP于E，連OC，先證明四邊形OABC是正方形，從而得出OE＝EB＝OA, 設AB＝BP＝x，則AE＝AB－BE＝x－4，根據OA2－=OE2＝OP2－PE2列出方程，解方程，從而求出AP的長.

（1）連接OA、OC，如圖所示：

∵若PA是⊙O的切線，AP的垂直平分線與⊙O相切于點C

∴∠OAB＝∠ABC＝∠OCB=90o，AB＝PB，

∴四邊形OABC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四邊形OABC是正方形，

∴OA＝AB，

∴OA＝AB＝BP

設OA＝x,則AP＝2x,在Rt△OAP中OP＝，

∴；

（2）作OE⊥AP于E，連OC，

∵若PA是⊙O的切線，AP的垂直平分線與⊙O相切于點C

∴∠OEB＝∠EBC＝∠OCB=90o，AB＝PB，

∴四邊形OEBC是矩形，

又∵OE＝OC，

∴四邊形OEBC是正方形，

∴OE＝EB，

∴OE＝EB＝OA，

設AB＝BP＝x，

則AE＝AB－BE＝x－4，∵OA2－=OE2＝OP2－PE2，

∴42－（x－4）2＝102－（x＋4）2，

∴x＝，

∴AP＝2x＝．