Question

已知：如圖，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，AE是△ABC的邊BC上的高，DF⊥BC，F為垂足．
（1）求證：BF=EC；
（2）若C點是弧AD的中點，且DF=3，AE=3，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：過0作OH⊥BC于H，
∵OH過O，
∴由垂徑定理得：BH=CH，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，OH⊥BC，
∴AE∥OH∥DF，
又∵OA=OD，
∴EH=FH，
∵BH=CH，
∴EH-BH=FH-CH，
即BE=CF，
∴BE+BC=CF+BC，
∴BF=CE．

（2）
∵C點是弧AD的中點，即弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DCF，
在△EAC和△FCD中

∠AEC=∠DFC=90° ∠EAC=∠DCF AC=CD

，
∴△EAC≌△FCD，
∴AE=CF=3，CE=DF=3，
∴EC=CF，
∵OA=OC，
∴OC是梯形AEFD的中位線，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC為半徑，
∴OC是⊙O切線，
∴EF和⊙O只有一個交點，
即B C重合，
∴BC=0．