Question

如圖，P是拋物線C：y=2x²-8x+8對稱軸上的一個動點，直線x=k平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線C交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，則滿足條件的k為

 

．

Answer 1

分析：依題意，得A（k，k），B（k，2k²-8k+8），則AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PAB=90°，PA=AB=|k-2|；當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，PB=AB=|k-2|；分別列方程求k的值．

解答：解：∵直線x=k分別與直線y=x、拋物線y=2x²-8x+8交于點A、B兩點，
∴A（k，k），B（k，2k²-8k+8），AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，
①當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，∠PAB=90°，此時PA=AB=|k-2|，
即|2k²-9k+8|=|k-2|，解得k=

5± 5

2

或1或3；
②當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，此時PB=AB=|k-2|，結果同上．
故答案為：

5± 5

2

或1或3．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據函數解析式表示A、B兩點坐標，再表示線段AB，根據題意，列方程求解．