Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

等腰

三角形；
（2）若拋物線拋物線m：y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，請求出a，b滿足的關系式；
（3）如圖，△OAB是拋物線n：y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱性進行判斷；
（2）由于拋物線三角形是等腰三角形，則得到本題中的“物線三角形”是等腰直角三角形，再確定拋物線的頂點坐標為（2，b），拋物線與x軸兩交點之間的線段長=2

- b a

，如何根據等腰直角三角形的性質得到|b|=

1

2

×2

- b a

，然后化簡即可得到a與b的關系；
（3）作AH⊥OB于H點，先得到B點坐標為（b′，0），A點坐標為（

b′

2

，

b′2

4

），再根據矩形的性質可判△OAB為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得AH=

3

2

OB，即

b′2

4

=

3

2

b′，解得b′=2

3

，則可確定A、B兩點坐標，然后根據關于原點中心的性質可確定C點與D點坐標，最后利用待定系數法求拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴“拋物線三角形”是等腰三角形；
故答案為等腰；

（2）∵y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，
∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，
拋物線的頂點坐標為（2，b），
把y=0代入y=a（x-2）²+b得a（x-2）²+b=0，解得x=2±

- b a

，
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點的坐標為（2+

- b a

，0），（2-

- b a

，0），
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點之間的線段長=2

- b a

，
∴|b|=

1

2

×2

- b a

，
∴b²=-

b

a

，
∴ab=-1；

（3）存在．作AH⊥OB于H點，如圖，
把y=0代入y=-x²+b′x得-x²+b′x=0，解得x₁=0，x₂=b′，
∴B點坐標為（b′，0），
∵y=-x²+b′x=-（x-

b′

2

）²+

b′2

4

，
∴A點坐標為（

b′

2

，

b′2

4

），
∵矩形ABCD以原點O為對稱中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AH=

3

2

OB，
∴

b′2

4

=

3

2

b′，解得b′=2

3

，
∴A點坐標為（

3

，3），B點坐標為（2

3

，0）
∴C點坐標為（-

3

，-3），D點坐標為（-2

3

，0），
設過O、C、D三點的拋物線的解析式為y=ax（x+2

3

），
把C（-

3

，-3）代入得a•（-

3

）（-

3

+2

3

）=-3，
解得a=1，
∴所求拋物線的表達式為y=x（x+2

3

）=x²+2

3

x．

點評：本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握二次函數的性質，并且根據二次函數的性質確定幾何圖形的性質和確定點的坐標；會運用等腰直角三角形、等邊三角形和矩形的性質建立等量關系，將函數問題轉化為方程問題．