Question

10．已知圓的半徑為5，弦AB∥CD，且AB=8，CD=6，則弦AB與CD的距離為1或7．

Answer 1

分析 分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB的中點(diǎn)，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的長(zhǎng)，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，由OE-OF即可求出EF的長(zhǎng)；當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長(zhǎng)即可．

解答 解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，
過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=3，AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，
根據(jù)勾股定理得：OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=3，
在Rt△COE中，OC=5，CE=3，
根據(jù)勾股定理得：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=4，
則EF=OE-OF=4-3=1；
當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，
同理可得EF=4+3=7，
綜上，弦AB與CD的距離為1或7．
故答案為：1或7．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．