Question

17、已知⊙O₁、⊙O₂的半徑都等于1，有下列命題：
①若O₁O₂=1，則⊙O₁與⊙O₂有兩個公共點
②若O₁O₂=2，則⊙O₁與⊙O₂外切
③若O₁O₂≤3，則⊙O₁與⊙O₂必有公共點
④若O₁O₂＞1，則⊙O₁與⊙O₂至少有兩條公切線
其中正確命題的序號是

①②④

．（把你認為正確命題的序號都上）．

Answer 1

分析：本題已知兩圓為等圓，當圓心距=1時，兩圓相交；當圓心距=2時，兩圓外切；當圓心距≤3時，兩圓有外離、外切、相交、內切、內含5種情況需要考慮；當圓心距＞1時，兩圓有外離、外切、相交3種情況需要考慮．

解答：解：由題意可得①若O₁O₂=1，則兩圓相交，⊙O₁與⊙O₂有兩個公共點，正確；
②若O₁O₂=2，則⊙O₁與⊙O₂外切，正確；
③若O₁O₂≤3，則⊙O₁與⊙O₂有外離、外切、相交、內切、內含5種情況需要考慮，而兩圓外離時，是沒有公共點的，故錯誤；
④若O₁O₂＞1，則⊙O₁與⊙O₂有外離、外切、相交3種情況需要考慮，公切線的條數分別是：4、3、2，故至少有兩條公切線，正確．
故正確的是①②④．

點評：可以根據圓心的距離判斷兩個圓的位置關系．兩圓心距離小于兩半徑之和，則兩圓相交；兩圓心距離等于兩半徑之和，則兩圓外切；兩圓心距離大于兩半徑之和，兩圓外離．