Question

【題目】已知二次函數與軸交于、（在的左側）與軸交于點，連接、.

（1）如圖1，點是直線上方拋物線上一點，當面積最大時，點分別為軸上的動點，連接、、，求的周長最小值；

（2）如圖2，點關于軸的對稱點為點，將拋物線沿射線的方向平移得到新的拋物線，使得交軸于點（在的左側）. 將繞點順時針旋轉至. 拋物線的對稱軸上有—動點，坐標系內是否存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析；，，，，

【解析】

（1）利用待定系數法求出A，B，C的坐標，如圖1中，作PQ∥y軸交BC于Q，設P，則Q，構建二次函數確定點P的坐標，作P關于y軸的對稱點P1（-4，6），作P關于x軸的對稱點P2（4，-6），的周長最小，其周長等于線段的長，由此即可解決問題．

（2）首先求出平移后的拋物線的解析式，確定點H，點C′的坐標，分三種情形，當OC′=C′S時，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2．當OC′=OS時，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4．當OC′是菱形的對角線時，分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖，，

過點作軸平行線，交線段于點，

設，

=-（m2-4）2+4，

∵，

∴m=4時，△PBC的面積最大，此時P（4，6）

作點關于軸的對稱點，點關于軸的對稱點，連接交軸、軸分別為，

此時的周長最小，其周長等于線段的長；

∵，

∴.

（2）如圖，

∵E（0，-4），平移后的拋物線經過E，B，

∴拋物線的解析式為y=-x2+bx-4，把B（8，0）代入得到b=4，

∴平移后的拋物線的解析式為y=-x+4x-4=-（x-2）（x-8），

令y=0，得到x=2或8，

∴H（2，0），

∵△CHB繞點H順時針旋轉90°至△C′HB′，

∴C′（6，2），

當OC′=C′S時，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2，

∵OC′=C′S==2，

∴可得S1（5，2-），S2（5，2+），

∵點C′向左平移一個單位，向下平移得到S1，

∴點O向左平移一個單位，向下平移個單位得到K1，

∴K1（-1，-），同法可得K2（-1，），

當OC′=OS時，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4，

同法可得K3（11，2-），K4（11，2+），

當OC′是菱形的對角線時，設S5（5，m），則有52+m2=12+（2-m）2，

解得m=-5，

∴S5（5，-5），

∵點O向右平移5個單位，向下平移5個單位得到S5，

∴C′向上平移5個單位，向左平移5個單位得到K5，

∴K5（1，7），

綜上所述，滿足條件的點K的坐標為（-1，-）或（-1，）或（11，2-）或（11，2+）或（1，7）．