Question

【題目】一次函數y=﹣x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊在第一象限內做等邊△ABC

（1）求△ABC的面積和點C的坐標；

（2）如果在第二象限內有一點P（a，），試用含a的代數式表示四邊形ABPO的面積．

（3）在x軸上是否存在點M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），C（1，2）；（2）；（3）M的坐標為（，0）、（+2，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）

【解析】

（1）先求出A（ ，0），B（0，1），再求出AB=2，由S△ABC= ×2×sin60°= 得OA= ，OB=1，所以tan∠OAB= = ，所以∠OAB=30°，證出∠OAC=90°，

所以C（1，2）；

（2）結合圖象得：S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + |a|；

（3）設點M（m，0），結合圖形，分三種情況①MA=MB，②MA=AB，③MB=AB，可得到：

滿足條件的M的坐標為（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）.

（1）解：y=﹣ x+1與x軸、y軸交于A、B兩點，

∴A（ ，0），B（0，1）．

∵△AOB為直角三角形，

∴AB=2．

∴S△ABC= ×2×sin60°= ．

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴OA= ，OB=1，

∴tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴C（1，2）

（2）解：如圖1，

S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + |a|

∵P在第二象限，

∴a＜0

∴S四邊形ABPO= ﹣ =

（3）解：如圖2，

設點M（m，0），

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴AM2=（m﹣ ）2 ， MB2=m2+1，AB=2，

∵△MAB為等腰三角形，

∴①MA=MB，

∴MA2=MB2 ，

∴（m﹣ ）2=m2+1，

∴m= ，

∴M（ ，0）

②MA=AB，

∴MA2=AB2 ，

∴（m﹣ ）2=4，

∴m= ±2，

∴M（ +2，0）或（ ﹣2，0）

③MB=AB，

∴MB2=AB2 ，

∴m2+1=4，

∴m= （舍）或m=﹣ ．

∴M（﹣ ，0）．

∴滿足條件的M的坐標為（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）