Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）證明四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，

∴AD=DC= BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：連接DF，

∵AF∥BC，AF=BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S= ACDF=10．

【解析】（1）根據已知易證△AFE≌△DBE，得出AF=DB．根據D是BC的中點，得出DB=DC，從而證得AF=CD，可證得四邊形ADCF是平行四邊形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出一組鄰邊相等，即AD=DC，即可證得結論。
（2）先證明四邊形ABDF是平行四邊形，得出DF的長，根據菱形的面積等于對角線之積的一半，即可求得結果。