Question

如圖，，個半圓依次外切，它們的圓心都在射線OA上并與射線OB相切，設半圓、半圓、半圓……、半圓的半徑分別是、、……、，則____________.

Answer 1

3

連接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圓都與直線OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₁B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三個半圓依次與直線y= x相切并且圓心都在x軸上，
∴y= x的傾斜角是30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴O C₁="2" C₁A=2r₁，0 C₁="2" C₁B=2r₂="O" C₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0 C₃="2" C₃C="O" C₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=30，∴r₂=3=31，
∴O C₁=2，0 C₁=2r₂=6r₁=6，0 C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此規律歸納得：r_n=3^n-1，
則=3．