Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°。

∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°。∴∠ABE=∠DAF。

∵在△ABE和△DAF中，，

∴△ABE≌△DAF（ASA）。

∴AF=BE。

（2）MP與NQ相等。理由如下：

如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，則四邊形AMPF、BNQE都是是平行四邊形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。

【解析】

試題（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據全等三角形的證明即可。

（2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，則四邊形AMPF、BNQE都是是平行四邊形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。