Question

如圖，已知拋物線F₁：y=x²-2x+2，的頂點為P，與y軸的交點為A，與直線OP交于另一點B，將拋物線F₁向右平移個單位，再向下平移個單位得拋物線F₂，拋物線F₂與x軸相交于D、C兩點（D在C的左邊）．
（1）求直線OP及拋物線F₂的函數關系式；
（2）連接AC，探究OB與AC的關系，并說明理由；
（3）在直線OB上是否存在點Q，使△DCQ的周長最小？若存在，求Q點的坐標和△DCQ周長的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）化成頂點式，即可求出P的坐標，根據平移性質求出F₂的頂點坐標，即可得出拋物線的解析式；
（2）設B（a，b），得出a=b，代入y=x²-2x+2求出B的坐標，解方程x²-3x+2=0求出C的坐標，根據坐標得出正方形OCBA，根據正方形性質求出即可；
（3）作D關于OP的對稱點D′，求出D′的坐標，連接D′C交OP于Q，則Q為所求，求出直線CD′的解析式，求出直線CD′和直線OP的交點坐標，即可得出Q的坐標，根據勾股定理求出CD′的長，即可求出三角形的周長．
解答：（1）解：∵F₁：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴P（1，1），
設直線OP的解析式為y=kx，
∴1=1×k，
即k=1，
∴直線OP的解析式為：y=x，
∵F₁的頂點坐標為P（1，1），
∴F₂的頂點坐標為（），
∴F₂的解析式為：y=-，
即為：y=x²-3x+2，
答：直線OP的解析式是y=x，拋物線F₂的函數關系式是y=-．
 
（2）解：設B（a，b），
∵直線OP：y=x與x軸的夾角是45°，
∴a=b，
∵B在拋物線y=x²-2x+2上，
∴a=a²-2a+2，解得：a₁=2，a₂=1（舍去），
∴B（2，2），
又∵解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，
∴D（1，0），C（2，0），
∵A（0，2），
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OCBA為正方形，
∴OB=AC，OB⊥AC，OB與AC互相平分．

（3）解：作D點關于直線OP的對稱點D′，連接D′C交OP于Q，
則Q為所求的點，
∵OP平分∠AOC，
∴D′的坐標是（0，1），
∴DD′=，
設直線CD′的解析式是y=kx+1，
把C（2，0）代入得：k=-，
∴y=-x+1，
∵直線OP的解析式是y=x，代入得：x=-x+1，
x=，
即Q的坐標是（，），
∵D、D′關于直線OP對稱，
∴DQ=D′Q，
∴DQ+CQ=D′Q+CQ=CD′===，
∴△DCQ的周長的最小值是DQ+CQ+CD=+（2-1）=+1．
點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質和判定，勾股定理，解二元一次方程組，解一元二次方程，二次函數的三種形式等知識點的應用，主要考查學生綜合運用這些性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．